nauko.pl

zadania i materiały nie tylko dla nauczycieli


Dodaj media Dodaj zadanie

Matura 2015 maj - zadania oryginalne

Zawiera: 34 zadań
Wszystkie oryginalne zadania z matematyki na poziomie podstawowej, które pojawiły się na maturze w maju 2015 roku.

Słowa kluczowe:
nierówności liniowe
nierówności liniowe Zadania  Zestawy  Multimedia
nierówności podwójne
nierówności podwójne Zadania  Zestawy  Multimedia
własności logarytmów
własności logarytmów Zadania  Zestawy  Multimedia
układy równań liniowych
układy równań liniowych Zadania  Zestawy  Multimedia
pierwiastki równania
pierwiastki równania Zadania  Zestawy  Multimedia
równania wielomianowe
równania wielomianowe Zadania  Zestawy  Multimedia
równania wymierne
równania wymierne Zadania  Zestawy  Multimedia
zbiór wartości funkcji
zbiór wartości funkcji Zadania  Zestawy  Multimedia
punkt należy do wykresu
punkt należy do wykresu Zadania  Zestawy  Multimedia
funkcja liniowa z parametrem
funkcja liniowa z parametrem Zadania  Zestawy  Multimedia
miejsce zerowe funkcji liniowej
miejsce zerowe funkcji liniowej Zadania  Zestawy  Multimedia
funkcja kwadratowa
funkcja kwadratowa Zadania  Zestawy  Multimedia
własności funkcji kwadratowej
własności funkcji kwadratowej Zadania  Zestawy  Multimedia
liczby spełniające nierówność
liczby spełniające nierówność Zadania  Zestawy  Multimedia
ciąg geometryczny
ciąg geometryczny Zadania  Zestawy  Multimedia
własności ciągu geometrycznego
własności ciągu geometrycznego Zadania  Zestawy  Multimedia
funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
funkcje trygonometryczne dowolnego kąta Zadania  Zestawy  Multimedia
funkcje trygonometryczne
funkcje trygonometryczne Zadania  Zestawy  Multimedia
funkcje trygonometryczne kąta ostrego
funkcje trygonometryczne kąta ostrego Zadania  Zestawy  Multimedia
proste równoległe
proste równoległe Zadania  Zestawy  Multimedia
geometria analityczna
geometria analityczna Zadania  Zestawy  Multimedia
geometria kartezjańska
geometria kartezjańska Zadania  Zestawy  Multimedia
warunek równoległości prostych
warunek równoległości prostych Zadania  Zestawy  Multimedia
proste prostopadłe
proste prostopadłe Zadania  Zestawy  Multimedia
warunek prostopadłości prostych
warunek prostopadłości prostych Zadania  Zestawy  Multimedia
symetria środkowa
symetria środkowa Zadania  Zestawy  Multimedia
graniastosłup prawidłowy czworokątny
graniastosłup prawidłowy czworokątny Zadania  Zestawy  Multimedia
kąty w graniastosłupach
kąty w graniastosłupach Zadania  Zestawy  Multimedia
geometria przestrzenna
geometria przestrzenna Zadania  Zestawy  Multimedia
objętość stożka
objętość stożka Zadania  Zestawy  Multimedia
graniastosłup prawidłowy trójkątny
graniastosłup prawidłowy trójkątny Zadania  Zestawy  Multimedia
pole graniastosłupa
pole graniastosłupa Zadania  Zestawy  Multimedia
średnia arytmetyczna
średnia arytmetyczna Zadania  Zestawy  Multimedia
prawdopodobieństwo
prawdopodobieństwo Zadania  Zestawy  Multimedia
rachunek prawdopodobieństwa
rachunek prawdopodobieństwa Zadania  Zestawy  Multimedia
prawdopodobieństwo klasyczne
prawdopodobieństwo klasyczne Zadania  Zestawy  Multimedia
nierówności kwadratowe
nierówności kwadratowe Zadania  Zestawy  Multimedia
zadania na dowodzenie
zadania na dowodzenie Zadania  Zestawy  Multimedia
dowodzenie nierówności
dowodzenie nierówności Zadania  Zestawy  Multimedia
dowodzenie w geometrii
dowodzenie w geometrii Zadania  Zestawy  Multimedia
najmniejsza wartość funkcji
najmniejsza wartość funkcji Zadania  Zestawy  Multimedia
największa wartość funkcji kwadratowej
największa wartość funkcji kwadratowej Zadania  Zestawy  Multimedia
największa wartość funkcji
największa wartość funkcji Zadania  Zestawy  Multimedia
trygonometria w geometrii
trygonometria w geometrii Zadania  Zestawy  Multimedia
ciągi arytmetyczne i geometryczne
ciągi arytmetyczne i geometryczne Zadania  Zestawy  Multimedia

Co teraz?

Jeśli chcesz wpisz indywidualne, własne dane: tytuł, datę oraz jej widoczność, grupę i wciśnij "Zmień nagłówek".
Potem wystarczy już tylko wydrukować zestaw.

Nagłówek

 

Zadanie 1

 ( )
Wskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności ##-4 \leq x -1 \leq 4##.

Zadanie 2

 ( )
Dane są liczby ##a=-\frac{1}{27}##, ##b= \log_{\frac{1}{4}}64##, ##c = \log_{\frac{1}{3}}27##. Iloczyn ##abc## jest równy

A. ##-9##                    B. ##-\frac{1}{3}##                    C. ##\frac{1}{3}##                   D. ##3##

Zadanie 3

 ( )
Kwotę ##1000## zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości ##4## % w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości ##19## %. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa

A. ##1000 \cdot \left(1-\frac{81}{100} \cdot \frac{4}{100} \right)##                         B. ##1000 \cdot \left(1+\frac{19}{100} \cdot \frac{4}{100} \right)##    
C.
##1000 \cdot \left(1+ \frac{81}{100} \cdot \frac{4}{100} \right)##                         D. ##1000 \cdot \left(1-\frac{19}{100} \cdot \frac{4}{100} \right)##

Zadanie 4

 ( )
Równość ##\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}## zachodzi dla

A. ##m=5##               B. ##m=4##               C. ##m=1##               D. ##m=-5##

Zadanie 5

 ( )
Układ równań ##\begin{cases} x - y=3 \\ 2x + 0,5y=4 \\ \end{cases}## opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie

A. zbiór pusty                                        B. dokładnie jeden punkt
C. dokładnie dwa różne punkty                D. zbiór nieskończony

Zadanie 6

 ( )
Suma wszystkich pierwiastków równania ##(x+3)(x+7)(x-11)=0## jest równa

A. ##-1##                      B. ##21##                      C. ##1##                      D. ##-21##

Zadanie 7

 ( )
Równanie ##\frac{x-1}{x+1}=x-1##

A. ma dokładnie jedno rozwiązanie: ##x=1##
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: ##x=0##
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: ##x=-1##
D. ma dokładnie dwa rozwiązania: ##x=0##, ##x=1##

Zadanie 8

 ( )
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ##f##.

Zbiorem wartości funkcji ##f## jest

A. ##(-2,2)##          B. ##\langle -2, 2 )##          C. ##\langle -2, 2 \rangle##          D. ##(-2,2 \rangle##
 

Zadanie 9

 ( )
Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem ##f(x)=(m-1)x+3## leży punkt ##S=(5,-2)##. Zatem

A. ##m=-1##               B. ##m=0##               C. ##m=1##               D. ##m=2##

Zadanie 10

 ( )
Funkcja liniowa ##f## określona wzorem ##f(x)=2x+b## ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa ##g(x)=-3x+4##. Stąd wynika, że

A. ##b=4##               B. ##b=-\frac{3}{2}##               C. ##b=-\frac{8}{3}##               D. ##b=\frac{4}{3}##

Zadanie 11

 ( )
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem ##f(x)=x^2+x+c##. Jeżeli ##f(3)=4##, to

A. ##f(1)=-6##       B. ##f(1)=-6##      C. ##f(1)=-6##       D. ##f(1)=-6##

Zadanie 12

 ( )
Ile liczb całkowitych ##x## spełnia nierówność ##\frac{2}{7}<\frac{x}{14}<\frac{4}{3}## ?

A. ##14##                       B. ##15##                       C. ##16##                       D. ##17##

Zadanie 13

 ( )
W rosnącym ciągu geometrycznym ##(a_n)##, określonym dla ##n \geq 1##, spełniony jest warunek ##a_4=3a_1##. Iloraz ##q## tego ciągu jest równy

A. ##q=\frac{1}{3}##               B. ##q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}##               C. ##q=\sqrt[3]{3}##               D. ##q=3##

Zadanie 14

 ( )
 
Tangens kąta ##\alpha## zaznaczonego na rysunku jest równy

 
               A. ##-\frac{\sqrt{3}}{3}##
               B. ##-\frac{4}{5}##
               C. ##-1##
               D. ##-\frac{5}{4}##

Zadanie 15

 ( )
Jeżeli ##0^0<\alpha<90^0## oraz ##\mathrm{tg}\alpha=2\sin\alpha##, to

A. ##\cos\alpha=\frac{1}{2}##      B. ##\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}##      C. ##\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}##      D. ##\cos\alpha=1##

Zadanie 16

 ( )
Miara kąta wpisanego w okrąg jest o ##20^0## mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa

A. ##5^0##                    B. ##10^0##                    C. ##20^0##                    D. ##30^0##

Zadanie 17

 ( )
Pole rombu o obwodzie ##8## jest równe ##1##. Kąt ostry tego rombu ma miarę ##\alpha##. Wtedy

A. ##14^0<\alpha<15^0##                              B. ##29^0<\alpha<30^0##    
C.
##60^0<\alpha<61^0##                              D. ##75^0<\alpha<76^0##

Zadanie 18

 ( )
Prosta ##l## o równaniu ##y=m^2x+3## jest równoległa do prostej ##k## o równaniu ##y=(4m-4)x-3##. Zatem

A. ##m=2##     B. ##m=-2##     C. ##m=-2-2\sqrt{2}##     D. ##m=2+2\sqrt{2}##

Zadanie 19

 ( )
Proste o równaniach: ##y=2mx-m^2-1## oraz ##y=4m^2x+m^2+1## są prostopadłe dla

A. ##m=-\frac{1}{2}##             B. ##m=\frac{1}{2}##             C. ##m=1##             D. ##m=2##

Zadanie 20

 ( )
Dane są punkty ##M=(-2,1)## i ##N=(-1,3)##. Punkt ##K## jest środkiem odcinka ##MN##. Obrazem punktu ##K## w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt

          A. ##K'=\left(2,-\frac{3}{2}\right)##                            B. ##K'=\left(2,\frac{3}{2}\right)## 
          C. ##K'=\left(\frac{3}{2},2\right)##                               D. ##K'=\left(\frac{3}{2},-2\right)##

Zadanie 21

 ( )
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ##EFGHIJKL## wierzchołki ##E##, ##G##, ##L## połączono odcinkami (tak jak na rysunku)
 

Wskaż kąt między wysokością ##OL## trójkąta ##EGL## i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

A.
##\sphericalangle HOL##            B. ##\sphericalangle OGL##            C. ##\sphericalangle HLO##            D. ##\sphericalangle OHL##

Zadanie 22

 ( )
Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości ##6##. Objętość tego stożka jest równa

A. ##27\pi\sqrt{3}##                  B. ##9\pi\sqrt{3}##                  C. ##18\pi##                  D. ##6\pi##

Zadanie 23

 ( )
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą ##8##. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

A. ##\frac{8^2}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)##        B. ##8^2 \cdot \sqrt{3}##        C. ##\frac{8^2 \sqrt{6}}{3}##        D. ##8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)##

Zadanie 24

 ( )
Średnia arytmetyczna zestawu danych: ##2,4,7,8,9## jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: ##2,4,7,8,9,x##. Wynika stąd, że

A. ##x=0##                 B. ##x=3##                 C. ##x=5##                 D. ##x=6##

Zadanie 25

 ( )
W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech ##p## oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy

A. ##p=\frac{1}{4}##               B. ##p=\frac{3}{8}##               C. ##p=\frac{1}{2}##               D. ##p=\frac{2}{3}##

Zadanie 26

 ( )
Rozwiąż nierówność ##2x^2-4x>(x+3)(x-2)##.

Zadanie 27

 ( )
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej ##x## i dla każdej liczby rzeczywistej ##y## prawdziwa jest nierówność ##4x^2-8xy+5y^2 \geq 0##.

Zadanie 28

 ( )
Dany jest kwadrat ##ABCD##. Przekątne ##AC## i ##BD## przecinają się w punkcie ##E##. Punkty ##K## i ##M## są środkami odcinków - odpowiednio - ##AE## i ##EC##. Punkty ##L## i ##N## leżą na przekątnej ##BD## tak, że ##\mid BL \mid = \frac{1}{3} \mid BE \mid## i ##\mid DN \mid = \frac{1}{3} \mid DE \mid## (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta ##KLMN## do pola kwadratu ##ABCD## jest równy ##1:3##.
 
 

Zadanie 29

 ( )
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej ##f(x)=x^2-6x+3## w przedziale ##\langle 0, 4 \rangle##.

Zadanie 30

 ( )
W układzie współrzędnych są dane punkty ##A=(-43,-12)##, ##B=(50,19)##. Prosta ##AB## przecina oś ##Ox## w punkcie ##P##. Oblicz pierwszą współrzędną punktu ##P##.

Zadanie 31

 ( )
Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy ##\frac{4}{7}##, a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy ##\frac{1}{2}##. Wyznacz ten ułamek.

Zadanie 32

 ( )
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa ##16##. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy ##\frac{3}{5}##. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Zadanie 33

 ( )
Wśród ##115## osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.

Rodzaje kupionych biletów Liczba osób
ulgowe 76
normalne 41

Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

Zadanie 34

 ( )
W nieskończonym ciągu arytmetycznym ##(a_n)##, określonym dla ##n \geq 1##, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa ##187##. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa ##12##. Wyrazy ##a_1##, ##a_3##, ##a_k## ciągu ##(a_n)##, w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny ##(b_n)##. Oblicz ##k##.