nauko.pl

zadania i materiały nie tylko dla nauczycieli


Dodaj media Dodaj zadanie

Ciągi liczbowe - zadania z arkuszy CKE

Zawiera: 75 zadań

W zestawie zostały ujęte zadania z ciągów liczbowych opracowane przez CKE, które pojawiły się w przygotowanych przez nich arkuszach
maturalnych: 2010 maj, 2010 sierpień, 2011 maj, 2011 czerwiec, 2011 sierpień, 2012 maj, 2012 czerwiec, 2012 sierpień, 2013 maj, 2013 sierpień, 2014 maj, 2014 czerwiec, 2014 sierpień, 2015 maj, 2015 czerwiec, 2015 sierpień, 2016 maj, 2016 czerwiec, 2016 sierpień, 2017 maj, 2017 czerwiec, 2017 sierpień
próbnych: 2012 marzec, 2013 grudzień, 2014 grudzień
z informatora maturalnego: arkusz P1, arkusz P2,

Uwaga!
Nowa matura obowiązuje od 2015 roku. W naszym zestawie umieściliśmy zadania od 2010 roku - do teraz (z ciągłą aktualizacją).

Słowa kluczowe:
matura z matematyki
matura z matematyki Zadania  Zestawy  Multimedia
ciąg arytemtyczny
ciąg arytemtyczny Zadania  Zestawy  Multimedia
wyrazy ciągu arytmetycznego
wyrazy ciągu arytmetycznego Zadania  Zestawy  Multimedia
ciąg geometryczny
ciąg geometryczny Zadania  Zestawy  Multimedia
wyrazy ciągu geometrycznego
wyrazy ciągu geometrycznego Zadania  Zestawy  Multimedia
ciąg arytmetyczny
ciąg arytmetyczny Zadania  Zestawy  Multimedia

Co teraz?

Jeśli chcesz wpisz indywidualne, własne dane: tytuł, datę oraz jej widoczność, grupę i wciśnij "Zmień nagłówek".
Potem wystarczy już tylko wydrukować zestaw.

Nagłówek

 

Zadanie 1

 ( )
Dany jest ciąg ##\left ( a_{n} \right )## określony wzorem ##a_{n}=\left ( -1 \right )^{n}\cdot \frac{2-n}{n^{2}}## dla ##n\geq 1##. Wówczas wyraz ##a_{5}## tego ciągu jest równy

A. ##-\frac{3}{25}##                      B. ##\frac{3}{25}##                       C. ##-\frac{7}{25}##                      D. ##\frac{7}{25}##

Zadanie 2

 ( )
Dany jest ciąg ## \left ( a_{n} \right )## określony wzorem ## a_{n}=\frac{n}{\left ( -2 \right )^{n}}## dla ## n\geq 1##. Wówczas

A. ## a_{3}=\frac{1}{2}##            B. ## a_{3}=-\frac{1}{2}##            C. ## a_{3}=\frac{3}{8}##             D. ## a_{3}=-\frac{3}{8}##

Zadanie 3

 ( )
Ciąg liczbowy określony jest wzorem ##a_n=\frac{2^n-1}{2^n+1}##, dla ##n\geq 1##. Piąty wyraz tego ciągu jest równy

A. ##-1##                     B. ##\frac{31}{33}##                     C. ##\frac{9}{11}##                     D. ##1##

Zadanie 4

 ( )
Ciąg ## \left ( a_{n} \right )## jest określony wzorem ## a_{n}=\left ( -1 \right )^{n}\left ( n^{2}-2n \right )## dla ## n\geq 1##. Wtedy

A. ## a_{3}> 3##                B. ## a_{3}=3##                C. ## a_{3}< 2##               D. ## a_{3}= 2##

Zadanie 5

 ( )
Ciąg ##\left ( a_{n} \right )## jest określony wzorem ##a_{n}=\sqrt{2n+4}## dla ##n\geq 1##. Wówczas

A. ## a_{8}=2\sqrt{5}##          B. ## a_{8}=8##          C. ## a_{8}=5\sqrt{2}##           D. ## a_{8}=\sqrt{12}##

Zadanie 6

 ( )
Ciąg ##\left ( a_{n} \right )## jest określony wzorem ##a_{n}=n^{2}-n##, dla ##n\geq 1##. Który wyraz tego ciągu jest równy ##6##?

A. drugi                  B. trzeci                C. szósty                D. trzydziesty

Zadanie 7

 ( )
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg ##\left ( a_{n} \right )## określony wzorem ##a_{n}=2n^{2}-9##
dla ##n\geq 1##?

A. ##0##                            B. ##1##                            C. ##2##                           D. ##3##

Zadanie 8

 ( )
Ciąg ##\left ( a_{n} \right )## jest określony wzorem ##a_{n}=\left ( n+3 \right )\left ( n-5 \right )## dla ##n\geq 1##. Liczba ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa
 
A. ##3##                           B. ##4##                           C. ##7##                           D. ##9##

Zadanie 9

 ( )
Ciąg ##\left ( a_{n} \right )## jest określony wzorem ##a_{n}=\frac{24-4n}{n}## dla ##n\geq 1## . Liczba wszystkich całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu jest równa

A. ##7##                          B. ##6##                           C. ##5##                          D. ##4##

Zadanie 10

 ( )
Dany jest ciąg ##\left ( a_{n} \right )## określony wzorem ##a_{n}=\left ( -1\right )^{n}\frac{2-n}{n^{2}}## dla ##n\geq 1##. Oblicz ##a_{2}## i ##a_{5}##.

Zadanie 11

 ( )
Ciąg arytmetyczny ##\left ( a_{n} \right )## jest określony wzorem ##a_{n}=2n-1## dla ##n\geq 1##. Różnica tego ciągu jest równa

A.
##-1##                           B. ##1##                           C. ##2##                           D. ##3##

Zadanie 12

 ( )
Ciąg arytmetyczny ##\left ( a_{n} \right )## jest określony wzorem ##a_{n}=-2n+1## dla ##n\geq 1##. Różnica tego ciągu jest równa

A. ##-1##                          B. ##1##                          C. ##-2##                         D. ##3##

Zadanie 13

 ( )
Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy ##17##, a różnica tego ciągu jest równa ##\left ( -2 \right )##. Drugi wyraz tego ciągu jest równy

A. ##9##                          B. ##11##                          C. ##23##                         D. ##25##

Zadanie 14

 ( )
W ciągu arytmetycznym ##(a_n)##, określonym dla ##n\geqslant 1##, dane są: ##a_1=5, a_2=11##. Wtedy

A. ##a_{14}=71##          B. ##a_{12}=71##          C. ##a_{11}=71##          D. ##a_{10}=71##

Zadanie 15

 ( )
W ciągu arytmetycznym ## \left ( a_{n} \right )## dane są: ## a_{3}=13## i ##a_{5}=39##. Wtedy wyraz
## a_{1}## jest równy

A. ##13##                       B. ##0##                        C. ##-13##                       D. ##-26##

Zadanie 16

 ( )
Ciąg ##\left ( a_{n} \right )## określony dla ##n\geq 1## jest arytmetyczny oraz ##a_{3}=10## i ##a_{4}=14##. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A. ##a_{1}=-2##              B. ##a_{1}=2##              C. ##a_{1}=6##              D. ##a_{1}=12##

Zadanie 17

 ( )
W ciągu arytmetycznym ##\left ( a_{n} \right )## mamy: ##a_{2}=5## i ## a_{4}=11##. Oblicz ##a_{5}##.

A. ##8##                          B. ##14##                           C. ##17##                           D. ##6##

Zadanie 18

 ( )
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny ## \left ( a_{n} \right )## o wyrazach dodatnich. Wtedy

A. ## a_{4}+a_{7}=a_{10}##                                      B. ## a_{4}+a_{6}=a_{3}+a_{8}##
C. ## a_{2}+a_{9}=a_{3}+a_{8}##                               D. ## a_{5}+a_{7}=2a_{8}##

Zadanie 19

 ( )
Dany jest ciąg arytmetyczny ##(a_n)##, określony dla ##n\geqslant 1##, o którym wiemy, że: ##a_1=2## i ##a_2=9##. Wtedy ##a_n=79## dla

A. ##n=10##             B. ##n=11##             C. ##n=12##            D. ##n=13##

Zadanie 20

 ( )
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy ##8##, a różnica tego ciągu jest równa ##\big(-\frac{3}{2}\big)##. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

A. ##\frac{37}{2}##                    B. ##-\frac{37}{2}##                    C. ##-\frac{5}{2}##                   D. ##\frac{5}{2}##

Zadanie 21

 ( )
Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 13. Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa

A. 13           B. 12           C. 7           D. 6

Zadanie 22

 ( )
W ciągu arytmetycznym ##(a_n)##, określonym dla ##n\geq 1##, dane są dwa wyrazy: ##a_2=11## i ##a_4=7##. Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A. ##36##           B. ##40##           C. ##13##           D. ##20##
 

Zadanie 23

 ( )
W ciągu arytmetycznym ##(a_n)##, określonym dla ##n\geqslant 1##, spełniony jest warunek ##2a_3=a_2+a_1+1##. Różnica ##r## tego ciągu jest równa

A. ##0##                        B. ##\frac{1}{3}##                        C. ##\frac{1}{2}##                        D. ##1##

Zadanie 24

 ( )
Liczby ##2,-1,-4## są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego ##(a_n)##, określonego dla liczb naturalnych ##n \geqslant 1##. Wzór ogólny tego ciągu ma postać

A. ##a_n=-3n+5##  B. ##a_n=n-3##   C. ##a_n=-n+3##  D. ##a_n=3n-5##

Zadanie 25

 ( )
Liczby ##7,a,49## w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy ##a## jest równe

A. ##14##                         B. ##21##                         C. ##28##                         D. ##42##

Zadanie 26

 ( )
Liczby: ##1, 3, x −11##, w podanej kolejności, są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba ##x## jest równa

A. ##5##                          B. ##9##                           C. ##16##                          D. ##20##

Zadanie 27

 ( )
Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ##(a_n)## jest równa ##35##. Pierwszy wyraz ##a_1## tego ciągu jest równy ##3##. Wtedy

A. ##a_{10}=\frac{7}{2}##          B. ##a_{10}=4##          C. ##a_{10}=\frac{32}{5}##          D. ##a_{10}=32##

Zadanie 28

 ( )
Ciąg ##(a_n)## jest określony wzorem ##a_n=6(n-16)## dla ##n \geq 1##. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A. −##54##             B. −##126##             C. −##630##             D. −##270##

Zadanie 29

 ( )
Dla każdej liczby całkowitej dodatniej ##n## suma ##n## początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ##(a_n )## jest określona wzorem ##S_n = 2n^2 +n##. Wtedy wyraz ##a_2## jest równy

A. ##3##                          B. ##6##                     C. ##7##                     D. ##10##

Zadanie 30

 ( )
Liczby ##x − 2, 3, x + 6## są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz ##x##.

Zadanie 31

 ( )
Liczby ##6,2x+4,x+26## w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę ##r## tego ciągu.

Zadanie 32

 ( )
Liczby ##2x+1,6,16x+2## są w podanej kolejności pierwszym, drugim
i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz ##x##.

Zadanie 33

 ( )
Liczby ##x, y, 19## w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym ##x+y=8##. Oblicz ##x## i ##y##.

Zadanie 34

 ( )
Dany jest ciąg arytmetyczny ##(a_n)## określony dla ##n\geq 1##, w ktorym ##a_3=22## oraz ##a_{10}=47##. Oblicz pierwszy wyraz ##a_1## i różnicę ##r## tego ciągu.

Zadanie 35

 ( )
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy ##3##, czwarty wyraz tego ciągu jest równy ##15##. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 36

 ( )
Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy ##26##, a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa ##70##. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zadanie 37

 ( )
Dany jest ciąg arytmetyczny ##(a_n)##, określony dla ##n\geqslant 1##, w którym spełniona jest równość ##a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100##. Oblicz sumę ##a_{25}+a_{26}##.

Zadanie 38

 ( )
Ciąg arytmetyczny ##(a_n )## określony jest wzorem ##a_n=2016- 3n##, dla ##n \geq 1##. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

Zadanie 39

 ( )
Suma ##S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}## początkowych ##n## wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego ##\left ( a_{n} \right )## jest określona wzorem ##S_{n}=n^{2}-2n## dla ##n\geq 1##. Wyznacz wzór na ##n##-ty wyraz tego ciągu.

Zadanie 40

 ( )
W ciągu arytmetycznym ##(a_n)##, określonym dla ##n\geqslant 1##, dane są: wyraz ##a_1=8## i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu ##S_3=33##. Oblicz różnicę ##a_{16}-a_{13}##.

Zadanie 41

 ( )
Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ##(a_n)##, określonego dla ##n\geqslant 1##, jest równa ##30##. Ponadto ##a_{30}=30##. Oblicz różnicę tego ciągu.

Zadanie 42

 ( )
Dany jest ciąg arytmetyczny ##(a_n )## określony dla każdej liczby naturalnej ##n \geq 1##, w którym ##a_1+a_2+a_3+a_4=2016## oraz ##a_5+a_6+a_7+\ldots+a_{12}=2016##. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu ##(a_n)##.

Zadanie 43

 ( )
W malejącym ciągu geometrycznym ##\left ( a_{n} \right )## mamy: ##a_{1}=-2## i ##a_{3}=-4##. Iloraz tego ciągu jest równy

A. ##-2##                         B. ##2##                       C. ##-\sqrt{2}##                       D. ##\sqrt{2}##

Zadanie 44

 ( )
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy ##8##, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy ##(−216)##. Iloraz tego ciągu jest równy

A. ##-\frac{224}{3}##                  B. ##−3##                  C. ##−9##                  D. ##−27##

Zadanie 45

 ( )
W ciągu geometrycznym drugi wyraz jest równy ##\left ( -2 \right )##, a trzeci wyraz ##\left ( -18 \right )## Iloraz tego ciągu jest równy

A. ##-9##                          B. ##-3##                          C. ##3##                         D. ##9##

Zadanie 46

 ( )
Dany jest ciąg geometryczny ##(a_n)##, w którym ##a_1= 72## i ##a_4 = 9## . Iloraz ##q## tego ciągu jest równy

A. ##q=\frac{1}{2}##               B. ##q=\frac{1}{6}##               C. ##q=\frac{1}{4}##               D. ##q=\frac{1}{8}##
 

Zadanie 47

 ( )
W ciągu geometrycznym ## \left ( a_{n} \right )## dane są: ## a_{1}=3## i ## a_{4}=24##. Iloraz tego ciągu jest równy

A. ##8##                           B. ##2##                          C. ## \frac{1}{8}##                          D. ## -\frac{1}{2}##

Zadanie 48

 ( )
W rosnącym ciągu geometrycznym ##(a_n)##, określonym dla ##n \geq 1##, spełniony jest warunek ##a_4=3a_1##. Iloraz ##q## tego ciągu jest równy

A. ##q=\frac{1}{3}##               B. ##q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}##               C. ##q=\sqrt[3]{3}##               D. ##q=3##

Zadanie 49

 ( )
Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy ##4##, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy ##\left ( -2 \right )##. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A. ##16##                        B. ##-16##                        C. ##8##                        D. ##-8##

Zadanie 50

 ( )
W ciągu geometrycznym ##\left ( a_{_{n}} \right )## mamy ##a_{3}=5## i ##a_{4}=15##. Wtedy wyraz ##a_{5}## jest równy

A.
##10##                         B. ##20##                         C. ##75##                         D. ##45##

Zadanie 51

 ( )
Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy ##4##, a piąty wyraz tego ciągu jest równy ##1##. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A. ##4##                       B. ##4\sqrt{2}##                       C. ##16##                      D. ##16\sqrt{2}##

Zadanie 52

 ( )
W ciągu geometrycznym ##\left ( a_{n} \right )## dane są ##a_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}## i ##a_{3}=-1##. Wtedy wyraz ##a_{1}## jest równy

A. ## -\frac{1}{2}##                       B. ## \frac{1}{2}##                       C. ## -\sqrt{2}##                       D. ## \sqrt{2}##

Zadanie 53

 ( )
W dziewięciowyrazowym ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich pierwszy wyraz jest równy ##3##, a ostatni wyraz jest równy ##12##. Piąty wyraz tego ciągu jest równy
 
A. ##3\sqrt[4]{2}##                        B. ##6##                       C. ##7\frac{1}{2}##                       D. ##8\frac{1}{7}##

Zadanie 54

 ( )
W ciągu geometrycznym ##\left ( a_{n} \right )## dane są ##a_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}## i ## a_{3}=-\frac{3}{2}##. Wtedy wyraz ##a_{1}## jest równy

A. ##-\frac{1}{2}##                       B. ##\frac{1}{2}##                       C. ##-\frac{\sqrt{3}}{2}##                      D. ##\frac{\sqrt{3}}{3}##

Zadanie 55

 ( )
W ciągu geometrycznym ## \left ( a_{n} \right )## dane są: ## a_{1}=36,a_{2}=18##. Wtedy

A.
## a_{4}=-18##            B. ## a_{4}=0##           C. ## a_{4}=4,5##            D. ## a_{4}=144##

Zadanie 56

 ( )
Ciąg geometryczny ##(a_n)## określony jest wzorem ##a_n=-\frac{3^n}{4}## dla ##n\geq 1##. Iloraz tego ciągu jest równy

A. ##-3##          B. ##-\frac{3}{4}##          C. ##\frac{3}{4}##          D. ##3##

Zadanie 57

 ( )
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny ## \left ( a_{n} \right )##, w którym ## a_{3}=1## i ## a_{4}=\frac{2}{3}##. Wtedy
A. ## a_{1}=\frac{2}{3}##               B. ## a_{1}=\frac{4}{9}##               C. ## a_{1}=\frac{3}{2}##               D. ## a_{1}=\frac{9}{4}##

Zadanie 58

 ( )
Dany jest ciąg geometryczny ##\left ( a_{n} \right )## , w którym ##a_{1}=-\sqrt{2}##, ##a_{2}=2##, ##a_{3}=-2\sqrt{2}## . Dziesiąty wyraz tego ciągu, czyli ##a_{10}## , jest równy
 
A. ##32##                   B. ##-32##                   C. ##16\sqrt{2}##                   D. ##-16\sqrt{2}##

Zadanie 59

 ( )
Liczby: ##x-2, 6, 12##, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba ##x## jest równa

A. ##0##                           B. ##2##                           C. ##3##                            D. ##5##

Zadanie 60

 ( )
Liczby ##3x-4,8,2## w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy

A. ##x=-6##                B. ##x=0##                C. ##x=6##                D. ##x=12##

Zadanie 61

 ( )
Ciąg ##(x, 2x + 3, 4x + 3)## jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A. ##-4##                       B. ##1##                       C. ##0##                       D. ##-1##

Zadanie 62

 ( )
Ciąg ##\left ( 27,18,x+5 \right )## jest geometryczny. Wtedy

A. ##x=4##                 B. ##x=5##                 C. ##x=7##                 D. ##x=9##

Zadanie 63

 ( )
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: ##(81, 3x, 4)##. Stąd wynika, że

A. ##x=18##             B. ##x=6##             C. ##x=\frac{85}{6}##             D. ##x=\frac{6}{85}##

Zadanie 64

 ( )
Dany jest ciąg geometryczny ##(x, 2x^2, 4x^3, 8)## o wyrazach nieujemnych. Wtedy
A. ##x=0##                B. ##x=1##                C. ##x=2##                D. ##x=4##

Zadanie 65

 ( )
Ciąg ##\left ( 2\sqrt{2},4,a \right )## jest geometryczny. Wówczas

A. ## a=8\sqrt{2}##       D. ##a=4\sqrt{2}##      C. ## a=8-2\sqrt{2}##      D. ## a=8+2\sqrt{2}##

Zadanie 66

 ( )
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny ##(24,6,a-1)##.Stąd wynika, że

A. ##a=\frac{5}{2}##               B. ##a=\frac{2}{5}##                C. ##a=\frac{3}{2}##               D. ##a=\frac{2}{3}##

Zadanie 67

 ( )
W ciągu geometrycznym ##(a_n)##, określonym dla ##n \geq 1##, wyraz ##a_1=5##, natomiast ##q=-2##. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A. ##-1705##           B. ##-1023##           C. ##1705##           D. ##5115##

Zadanie 68

 ( )
Ciąg geometryczny ##(a_n )## jest określony wzorem ##a_n=2^n## dla ##n \geq 1##. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

A. ##2(1− 2^{10} )##           B. ##−2(1− 2^{10} )##          
C.
##2(1+ 2^{10} )##           D. ##−2(1+ 2^{10} )##

Zadanie 69

 ( )
Liczby ##64, x,4## są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.

Zadanie 70

 ( )
Liczby ##27,x,3## są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz ósmy wyraz tego ciągu.

Zadanie 71

 ( )
Ciąg ##\left ( 9,x,19 \right )## jest arytmetyczny, a ciąg ##\left ( x,42,y,z \right )## jest geometryczny. Oblicz ##x##, ##y## oraz ##z##.

Zadanie 72

 ( )
Ciąg ##\left ( a,b,c \right )## jest arytmetyczny i ##a+b+c=33##. Ciąg ##\left ( a,b+3,c+13 \right )## jest geometryczny. Oblicz ##a, b## i ##c##.

Zadanie 73

 ( )
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny ##(a_n )## , dla ##n \geq 1## taki, że ##a_5 =18##. Wyrazy ##a_1,a_3## oraz ##a_{13}## tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na ##n##-ty wyraz ciągu ##(a_n)##.

Zadanie 74

 ( )
W nieskończonym ciągu arytmetycznym ##(a_n)##, określonym dla ##n \geq 1##, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa ##187##. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa ##12##. Wyrazy ##a_1##, ##a_3##, ##a_k## ciągu ##(a_n)##, w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny ##(b_n)##. Oblicz ##k##.

Zadanie 75

 ( )
Ciąg ##(a_n )## jest określony wzorem ##a_n=2n^2+2n## dla ##n \geq 1##. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.