nauko.pl

zadania i materiały nie tylko dla nauczycieli


Dodaj media Dodaj zadanie

Polecamy także publikacje:

Okładka

Bankowość. Podręcznik akademicki

Władysław L. Jaworski, i Zofia Zawadzka

Cena: 108.10

Przejdź do sklepu

REKLAMA

 

Zadanie

Punkty ##A=(-2,-8)## i ##B=(14,-8)## są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ##ABC##, w którym ##|AB|=|AC|##. Wysokość ##AD## tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu ##y=\frac{1}{2}x-7##. Oblicz współrzędne wierzchołka ##C## tego trójkąta.
Dodaj zadanie do wybranych Prześlij sugestię autorowi

Odpowiedzi

Wykonajmy rysunek poglądowy i z jego pomocą objaśnimy rozwiązanie tego zadania.

Proste ##BC## i ##AD## są prostopadłe, zatem współczynnik kierunkowy ##a## prostej ##BC## spełnia warunek: ##\frac{1}{2}\cdot a=-1##, czyli ##a=-2##. Równanie prostej ##BC## przyjmuje postać ##y=-2x+b##. Współczynnik ##b## obliczamy podstawiając do tego równania współrzędne punktu ##B##:
##\begin{split}
-8&=-2\cdot 14+b\\
b&=-8+28=20.
\end{split}##
Prosta ##BC## ma równanie ##y=-2x+20##.
Współrzędne punktu ##D## otrzymujemy jako rozwiązanie układu równań prostej ##AD## i prostej ##BC##:
##\begin{split}
&\begin{cases}
y=\frac{1}{2}x-7\\
y=-2x+20
\end{cases}\\
\frac{1}{2}x-7&=-2x+20\\
\frac{5}{2}x&=27\\
&\begin{cases}
x=\frac{54}{5}\\
y=-2\cdot \frac{54}{5}+20
\end{cases}\\
&\begin{cases}
x=\frac{54}{5}\\
y=-\frac{8}{5}
\end{cases}\\
D&=\left(\frac{54}{5},-\frac{8}{5}\right).
\end{split}##
Trójkąt ##ABC## jest równoramienny, zatem punkt ##D## jest środkiem odcinka ##BC##.
Stąd mamy:
##\begin{split}
\frac{x_c+14}{2}=\frac{54}{5},&\qquad\ \ \frac{yc-8}{2}=\frac{-8}{5}\\
x_c+14=\frac{108}{5},&\qquad\ \ y_c-8=-\frac{16}{5}\\
x_c=\frac{38}{5},&\qquad\ \ y_c=\frac{24}{5}\\
C&=\left(\frac{38}{5}, \frac{24}{5}\right).
\end{split}##
Zatem wierzchołek ##C## ma współrzędne ##C=\left(\frac{38}{5}, \frac{24}{5}\right)##.

Odpowiedź dodano: 30.12.2017

Zestawy zawierające to zadanie:

Geometria kartezjańska - zadania z arkuszy CKE

Słowa kluczowe:
trójkąt równoramienny
trójkąt równoramienny Zadania  Zestawy  Multimedia
geometria analityczna
geometria analityczna Zadania  Zestawy  Multimedia
geometria kartezjańska
geometria kartezjańska Zadania  Zestawy  Multimedia