Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ##ABCS## jest równa ##27\sqrt{3}##. Długość krawędzi ##AB## podstawy ostrosłupa jest równa ##6## (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Dany jest trójkąt równoramienny ##ABC##, w którym ##|AC| = |BC|##. Ponadto wiadomo, że ##A = (−2,4)## i ##B = (6,− 2)##. Wierzchołek ##C## należy do osi ##Oy##. Oblicz współrzędne wierzchołka ##C##.

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny ##(a_n )## , dla ##n \geq 1## taki, że ##a_5 =18##. Wyrazy ##a_1,a_3## oraz ##a_{13}## tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na ##n##-ty wyraz ciągu ##(a_n)##.

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia ##A## polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez 8 lub liczbę podzielną przez 12.

Funkcja kwadratowa, ##f## dla ##x = −3## przyjmuje wartość największą równą ##4##. Do wykresu funkcji ##f## należy punkt ##A = (−1, 3)##. Zapisz wzór funkcji kwadratowej ##f##.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych ##x##, ##y## prawdziwa jest nierówność ##3x^2 + 5y^2 − 4xy \geq 0##.

Czworokąt ##ABCD## wpisano w okrąg tak, że bok ##AB## jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że ##|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2##.

Rozwiąż równanie ##x (x^2 − 2x + 3) = 0##.

Rozwiąż nierówność ##3x^2 −9x \leq x −3##.