Suma wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa ##36\sqrt{2}##. Kosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy ##\frac{1}{5}##. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Trójkąt równoboczny ##ABC## jest podstawą ostrosłupa prawidłowego ##ABCS##, w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ##60^\circ##, a krawędź boczna ma długość ##7## (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa ##\frac{5\sqrt{3}}{4}##, a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe ##\frac{15\sqrt{3}}{4}##. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Z sześcianu ##ABCDEFGH## o krawędzi długości ##a## odcięto ostrosłup ##ABDE## (zobacz rysunek).

Ile razy objętość tego ostrosłupa jest mniejsza od objętości pozostałej części sześcianu?

Podstawą ostrosłupa ##ABCDS## jest prostokąt, którego boku pozostają w stosunku ##3:4##, a pole jest równe ##192## (zobacz rysunek). Punkt ##E## jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek ##SE## jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ##30^\circ##. Oblicz objętość ostrosłupa.

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny i sześcian. Bryły mają jednakowe podstawy i równe wysokości, a suma objętości tych brył jest równa ##36## cm³.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli zdanie jest fałszywe.

 

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: ##H## – wysokość ostrosłupa oraz ##\alpha## - miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy ##\left ( 45^{\circ}<\alpha <90^{\circ} \right )##.
a) Wykaż, że objętość ##V## tego ostrosłupa jest równa ##\frac{4}{3}\cdot \frac{H^{3}}{\operatorname{tg}^{2}\alpha -1}##.
b) Oblicz miarę kąta ##\alpha##, dla której objętość ##V## danego ostrosłupa jest równa ##\frac{2}{9}H^{3}##. Wynik podaj w zaokrągleniu do całkowitej liczby stopni.

Na rysunku obok przedstawiono siatkę ostrosłupa. Objętość tego ostrosłupa jest równa

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ##ABCDS## o podstawie ##ABCD## i wierzchołku ##S## pole trójkąta ##ABS## wynosi ##6##, a cosinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy ##\frac{3}{4}##. Oblicz objętość ostrosłupa ##ABCDS##.