nauko.pl

zadania i materiały nie tylko dla nauczycieli


Dodaj media Dodaj zadanie

Geometria kartezjańska - zadania z arkuszy CKE

Zawiera: 74 zadań

W zestawie zostały ujęte zadania dotyczące geometrii kartezjańskiej i opracowane przez CKE, które pojawiły się w przygotowanych przez nich arkuszach
maturalnych: 2010 maj, 2010 sierpień, 2011 maj, 2011 czerwiec, 2011 sierpień, 2012 maj, 2012 czerwiec, 2012 sierpień, 2013 maj, 2013 sierpień, 2014 maj, 2014 czerwiec, 2014 sierpień, 2015 maj, 2015 czerwiec, 2015 sierpień, 2016 maj, 2016 czerwiec, 2016 sierpień, 2017 maj, 2017 czerwiec, 2017 sierpień
próbnych: 2012 marzec, 2013 grudzień, 2014 grudzień
z informatora maturalnego: arkusz P1, arkusz P2,

Uwaga!
Nowa matura obowiązuje od 2015 roku. W naszym zestawie umieściliśmy zadania od 2010 roku - do teraz (z ciągłą aktualizacją).
Wszelkie uwagi, sugestie lub wychwycone błędy proszę zgłaszać przez przycisk " Sugestia" znajdujące się obok zadań lub wysłać na adres: bok@nauko.pl

Słowa kluczowe:
proste równoległe
proste równoległe Zadania  Zestawy  Multimedia
równoległość prostych
równoległość prostych Zadania  Zestawy  Multimedia
współczynnik kierunkowy prostej
współczynnik kierunkowy prostej Zadania  Zestawy  Multimedia
trójkąt równoboczny
trójkąt równoboczny Zadania  Zestawy  Multimedia
proste prostopadłe
proste prostopadłe Zadania  Zestawy  Multimedia
prostopadłość prostych
prostopadłość prostych Zadania  Zestawy  Multimedia
długość odcinka
długość odcinka Zadania  Zestawy  Multimedia
wykres funkcji linowej
wykres funkcji linowej Zadania  Zestawy  Multimedia
geometria analityczna
geometria analityczna Zadania  Zestawy  Multimedia
warunek równoległości prostych
warunek równoległości prostych Zadania  Zestawy  Multimedia
układ wspólrzędnych
układ wspólrzędnych Zadania  Zestawy  Multimedia
symetralna odcinka
symetralna odcinka Zadania  Zestawy  Multimedia
warunek prostopadłości prostych
warunek prostopadłości prostych Zadania  Zestawy  Multimedia
trójkąt równoramienny
trójkąt równoramienny Zadania  Zestawy  Multimedia
wykres funkcji liniowej
wykres funkcji liniowej Zadania  Zestawy  Multimedia
zadania na dowodzenie
zadania na dowodzenie Zadania  Zestawy  Multimedia
trójkąt prostokątny
trójkąt prostokątny Zadania  Zestawy  Multimedia
twierdzenie Pitagorasa
twierdzenie Pitagorasa Zadania  Zestawy  Multimedia
dowodzenie w geometrii
dowodzenie w geometrii Zadania  Zestawy  Multimedia
wysokość trójkąta równobocznego
wysokość trójkąta równobocznego Zadania  Zestawy  Multimedia
własności funkcji liniowej
własności funkcji liniowej Zadania  Zestawy  Multimedia
geometria kartezjańska
geometria kartezjańska Zadania  Zestawy  Multimedia
przekątna kwadratu
przekątna kwadratu Zadania  Zestawy  Multimedia
wzajemne położenie prostych
wzajemne położenie prostych Zadania  Zestawy  Multimedia
matura z matematyki
matura z matematyki Zadania  Zestawy  Multimedia
przekątne równoległoboku
przekątne równoległoboku Zadania  Zestawy  Multimedia
symetria środkowa
symetria środkowa Zadania  Zestawy  Multimedia
miejsce zerowe funkcji liniowej
miejsce zerowe funkcji liniowej Zadania  Zestawy  Multimedia
odległość punktu od prostej
odległość punktu od prostej Zadania  Zestawy  Multimedia
układy równań liniowych
układy równań liniowych Zadania  Zestawy  Multimedia
współczynniki funkcji liniowej
współczynniki funkcji liniowej Zadania  Zestawy  Multimedia
zadania z parametrem
zadania z parametrem Zadania  Zestawy  Multimedia
kąt nachylenia prostej do osi OX
kąt nachylenia prostej do osi OX Zadania  Zestawy  Multimedia
symetrie w układzie wspólrzędnych
symetrie w układzie wspólrzędnych Zadania  Zestawy  Multimedia

Co teraz?

Jeśli chcesz wpisz indywidualne, własne dane: tytuł, datę oraz jej widoczność, grupę i wciśnij "Zmień nagłówek".
Potem wystarczy już tylko wydrukować zestaw.

Nagłówek

 

Zadanie 1

 ( )
Punkt ##S=\left ( 2,7 \right )## jest środkiem odcinka ##AB##, w którym ##A=\left ( -1,3 \right )##. Punkt ##B## ma współrzędne:

A.
## B=\left ( 5,11 \right )##  B. ## B=\left ( \frac{1}{2},2 \right )##  C. ## B=\left ( -\frac{3}{2},-5 \right )##  D. ## B=\left ( 3,11 \right )##

Zadanie 2

 ( )
Punkt ##S=\left ( -4,7 \right )## jest środkiem odcinka ##PQ##, gdzie ##Q=\left ( 17,12 \right )##. Zatem punkt ##P## ma współrzędne

A. ##P=\left ( 2,-25 \right )##  B. ##P=\left ( 38,17 \right )##  C. ##P=\left ( -25,2 \right )##  D. ##P=\left ( -12,4 \right )##

Zadanie 3

 ( )
Punkt ##S=(2,-5)## jest środkiem odcinka ##AB##, gdzie ##A=(-4,3)## i ##B=(8,b)##. Wtedy

A. ##b=-13##           B. ##b=-2##           C. ##b=-1##           D. ##b=6##

Zadanie 4

 ( )
Punkt ##S=\left ( 4,1 \right )## jest środkiem odcinka ##AB##, gdzie ##A=\left ( a,0 \right )## i ##B=\left ( a+3,2 \right )##. Zatem

A. ##a=0##                 B. ##a=\frac{1}{2}##                 C. ##a=2##                 D. ##a=\frac{5}{2}##

Zadanie 5

 ( )
W układzie współrzędnych dane są punkty ##A = (a, 6)## oraz ##B = (7,b)##. Środkiem odcinka ##AB## jest punkt ##M = (3, 4)##. Wynika stąd, że

A. ##a = 5## i ##b = 5##                       B. ##a = −1## i ##b = 2##
C. ##a = 4## i ##b =10##                     D. ##a = −4## i ##b = −2##

Zadanie 6

 ( )
Punkty ##A=(13,-12)## i ##C=(15,8)## są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ##ABCD##.
Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie

A. ##S=(2,-20)##          B. ##S=(14,10)##         
C.
##S=(14,-2)##          D. ##S=(28,-4)##

Zadanie 7

 ( )
Punkty ##A=\left ( -6-2\sqrt{2} ,4-2\sqrt{2} \right )##, ##B=\left ( 2+4\sqrt{2}, -6\sqrt{2} \right )##, ##C=\left ( 2+6\sqrt{2},6-2\sqrt{2} \right )## są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ##ABCD##. Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie

A. ##S=\left ( -1+4\sqrt{2},5-5\sqrt{2} \right )##          B. ##S=\left ( -2+\sqrt{2},2-4\sqrt{2} \right )##
C.
##S=\left ( 2+5\sqrt{2},3-4\sqrt{2} \right )##             D. ##S=\left ( -2+2\sqrt{2},5-2\sqrt{2} \right )##

Zadanie 8

 ( )
Dane są punkty ##A=\left ( 1,-4 \right )## i ##B=\left ( 2,3 \right )##. Odcinek ##AB## ma długość

A. ##1##                        B. ## 4\sqrt{3}##                        C. ## 5\sqrt{2}##                         D. ##7##

Zadanie 9

 ( )
Punkty ##B=(-2,4)## i ##C=(5,1)## są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ##ABCD##. Pole tego kwadratu jest równe

A. ##29##                     B. ##40##                     C. ##58##                     D. ##74##

Zadanie 10

 ( )
Punkty ## A=\left ( -5,2 \right )## i ## B=\left ( 3,-2 \right )## są wierzchołkami trójkąta równobocznego ##ABC##. Obwód tego trójkąta jest równy

A. ##30##                      B. ## 4\sqrt{5}##                      C. ## 12\sqrt{5}##                      D. ##36##

Zadanie 11

 ( )
Punkty ##A=\left ( 1,-2 \right )##, ##C=\left ( 4,2 \right )## są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego ##ABC##. Wysokość tego trójkąta jest równa

A. ##\frac{5\sqrt{3}}{2}##                      B. ##\frac{5\sqrt{3}}{3}##                      C. ##\frac{5\sqrt{3}}{6}##                     D. ##\frac{5\sqrt{3}}{9}##

Zadanie 12

 ( )
Punkty ##A=\left ( -3,1 \right )## i ##B=\left ( 2,3 \right )## są kolejnymi wierzchołkami kwadratu. Obwód tego kwadratu jest równy

A.
##4\sqrt{5}##                  B. ##4\sqrt{17}##                  C. ##4\sqrt{21}##                  D. ##4\sqrt{29}##

Zadanie 13

 ( )
Punkty ##E=\left ( 7,1 \right )## i ##F=\left ( 9,7 \right )## to środki boków, odpowiednio ##AB## i ##BC## kwadratu ##ABCD##. Przekątna tego kwadratu ma długość
 
A. ##4\sqrt{5}##                      B. ##10##                     C. ##4\sqrt{10}##                      D. ##20##

Zadanie 14

 ( )
Punkty ##A=\left ( -1,3 \right )## i ##C=\left ( -5,5 \right )## są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ##ABCD##. Pole tego kwadratu jest równe

A. ##10##                         B. ##25##                        C. ##50##                         D. ##100##

Zadanie 15

 ( )
Punkty ## B=\left ( -2,4 \right )## i ##C\left ( 5,1 \right )## są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ##ABCD##. Pole tego kwadratu jest równe

A. ##74##                         B. ##58##                          C. ##40##                         D. ##29##

Zadanie 16

 ( )
Punkty ##A=\left ( -1,2 \right )## i ##B=\left ( 5,-2 \right )## są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu ##ABCD##. Obwód tego rombu jest równy

A. ##\sqrt{13}##                    B. ##13##                    C. ##676##                    D. ##8\sqrt{13}##

Zadanie 17

 ( )
Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej ##y = ax+ b## takiej, że ##a > 0## i ##b < 0## ?

Zadanie 18

 ( )
Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe ##k## i ##l## o równaniach ##y = ax + b## oraz ##y = mx + n## . Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi.
Zatem
A. ##a\cdot m > 0## i ##b \cdot n > 0 ##                 B. ##a \cdot m > 0## i ##b\cdot n < 0##
C. ##a\cdot m < 0## i ##b \cdot n > 0##                 D. ##a \cdot m < 0## i ##b \cdot n < 0##

Zadanie 19

 ( )
Na prostej o równaniu ##y=ax+b## leżą punkty ##K=(1,0)## i ##L=(0,1)##. Wynika stąd, że

A. ##a=-1## i ##b=1##              B. ##a=1## i ##b=-1##
C. ##a=-1## i ##b=-1##           D. ##a=1## i ##b=1##

Zadanie 20

 ( )
Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu ##y = ax + b## przechodzącej przez punkty ##(0, − 2)## i ##(6, 2)## .
Wtedy

A. ##a=\frac{2}{3},\ b=-2##          B. ##a=3, \ b=-2##
C. ##a=\frac{3}{2}, \ b=2##             D. ##a=-3,\ b=2##

Zadanie 21

 ( )
Dane są punkty ##A=\left ( 6,1 \right )## i ##B=\left ( 3,3 \right )##. Współczynnik kierunkowy prostej ##AB## jest równy

A. ##-\frac{2}{3}##                         B. ##-\frac{3}{2}##                        C. ##\frac{3}{2}##                        D. ##\frac{2}{3}##

Zadanie 22

 ( )
Dane są punkty ##A=\left ( -2,2 \right )## i ##B=\left ( 4,-2 \right )##. Współczynnik kierunkowy prostej ##AB## jest równy

A.
## a=-\frac{2}{3}##               B. ## a=-\frac{3}{2}##               C. ## a=\frac{3}{2}##              D. ## a=\frac{2}{3}##

Zadanie 23

 ( )
Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty ##A=(-4,3)## oraz ##B=(8,7)##, jest równy

A. ##a=3##           B. ##a=-1##           C. ##a=\frac{5}{6}##           D. ##a=\frac{1}{3}##

Zadanie 24

 ( )
Prosta ##l## jest nachylona do osi ##Ox## pod kątem ##30^\circ## i przecina oś ##Oy## w punkcie ##\left(0,-\sqrt{3}\right)## (zobacz rysunek).
Prosta ##l## ma równanie

          A. ##y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}##
          B. ##y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}##  
          C. ##y=\frac{1}{2}x-\sqrt{3}##  
          D. ##y=\frac{1}{2}x+\sqrt{3}##

Zadanie 25

 ( )
Wykres funkcji liniowej ##y=2x-3## przecina oś ##Oy## w punkcie o współrzędnych

A. ##(0,-3)##                B. ##(-3,0)##                C. ##(0,2)##                D. ##(0,3)##

Zadanie 26

 ( )
Prosta o równaniu ##y=5x-m+3## przechodzi przez punkt ##A=\left ( 4,3 \right )##. Wtedy

A. ##m=20##              B. ##m=14##              C. ##m=3##                D. ##m=0##

Zadanie 27

 ( )
Prosta o równaniu ##y=-2x+\left ( 3m+3 \right )## przecina w układzie współrzędnych oś ##Oy## w punkcie ##\left ( 0,2 \right )##. Wtedy

A. ## m=-\frac{2}{3}##            B. ## m=-\frac{1}{3}##            C. ## m=\frac{1}{3}##            D. ## m=\frac{5}{3}##

Zadanie 28

 ( )
Proste o równaniach ##2x −3y = 4## i ##5x −6y = 7## przecinają się w punkcie ##P##. Stąd wynika, że

A. ##P = (1, 2)##                                     B. ##P = (−1, 2)##           
C.
##P = (−1, − 2)##                               D. ##P = (1,− 2)##

Zadanie 29

 ( )
Równania ##y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}## oraz ##y=-\frac{4}{3}## opisują dwie proste

A. przecinające się pod kątem o mierze ##90^{\circ}##.
B. pokrywające się.
C. przecinające się pod kątem różnym od ##90^{\circ}##.
D. równoległe i różne.

Zadanie 30

 ( )
Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu ## y=-3x+5## jest równy:

A. ## -\frac{1}{3}##                        B. ##-3##                         C. ## \frac{1}{3}##                         D. ##3##

Zadanie 31

 ( )
Prosta ##l## ma równanie ##y =2x −11##. Wskaż równanie prostej równoległej do ##l##.
 
A. ##y =2x##           B. ##y =−2x##            C. ##y=-\frac{1}{2}x##           D. ##y=\frac{1}{2}x##

Zadanie 32

 ( )
Prostą równoległą do prostej o równaniu ##y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}## jest prosta opisana równaniem
 
A. ##y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}##                         B. ##y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}##      
C.
##y=\frac{3}{2}x-\frac{4}{3}##                             D. ##y=-\frac{3}{2}x-\frac{4}{3}##

Zadanie 33

 ( )
Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu ##3x-6y+7=0##.

A.
##y=\frac{1}{2}x##            B. ##y=-\frac{1}{2}x##            C. ##y=2x##            D. ##y=-2x##

Zadanie 34

 ( )
Prosta ##k## ma równanie ##y=2x-3## . Wskaż równanie prostej ##l## równoległej
do prostej ##k## i przechodzącej przez punkt ##D## o współrzędnych ##\left ( -2,1 \right )##

A. ##y=-2x+3##     B. ##y=2x+1##     C. ##y=2x+5##     D. ##y=-x+1##

Zadanie 35

 ( )
Prosta ##k## przecina oś ##Oy## układu współrzędnych w punkcie ##(0,6)## i jest równoległa do prostej o równaniu ##y = −3x##. Wówczas prosta ##k## przecina oś ##Ox## układu współrzędnych w punkcie

A. (−12,0)           B. (−2,0)           C. (2,0)           D. (6,0)

Zadanie 36

 ( )
Punkt ##C=(0,2)## jest wierzchołkiem trapezu ##ABCD##, którego podstawa ##AB## jest zawarta w prostej o równaniu ##y=2x-4##. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę ##CD##.

A. ##y=\frac{1}{2}x+2##    B. ##y=-2x+2##    C. ##y=-\frac{1}{2}x+2##    D. ##y=2x+2##

Zadanie 37

 ( )
Proste o równaniach ##y=mx-5## oraz ## y=(1-2m)x+7## są równoległe, gdy

A. ##m=-1##           B. ##m=-\frac{1}{3}##           C. ##m=\frac{1}{3}##           D. ##m=1##

Zadanie 38

 ( )
Prosta ##l## o równaniu ##y=m^2x+3## jest równoległa do prostej ##k## o równaniu ##y=(4m-4)x-3##. Zatem

A. ##m=2##     B. ##m=-2##     C. ##m=-2-2\sqrt{2}##     D. ##m=2+2\sqrt{2}##

Zadanie 39

 ( )
Prosta ##l## ma równanie ##y=-\frac{1}{4}x+7##. Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej ##l##.

A. ##y=\frac{1}{4}x+1##   B. ##y=-\frac{1}{4}x-7##  C. ##y=4x-1##   D. ##y=-4x+7##

Zadanie 40

 ( )
Dane są równania czterech prostych:

Prostopadłe są proste

A. ##l## i ##n##           B. ##l## i ##m##           C. ##k## i ##n##           D. ##k## i ##m##

Zadanie 41

 ( )
Prosta ##l## ma równanie ##y=-7x+2##. Równanie prostej prostopadłej do ##l##
i przechodzącej przez Punkt ## P=\left ( 0,1 \right )## ma postać

A. ##y=7x-1##    B. ## y=7x+1##     C. ## y=\frac{1}{7}x+1##     D. ## y=\frac{1}{7}x-1##

Zadanie 42

 ( )
Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste ##k## i ##l## przecinają się pod kątem prostym w punkcie ##A=(-2,4)##. Prosta ##k## jest określona równaniem ##y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}##. Zatem prostą ##l## opisuje równanie

A. ##y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}##                           B. ##y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{2}## 
C.
##y=4x-12##                           D. ##y=4x+12##

Zadanie 43

 ( )
Punkt ##A=\left ( 0,5 \right )## leży na prostej ##k## prostopadłej do prostej o równaniu ##y=x+1##. Prosta ##k## ma równanie

A. ##y=x+5##       B. ##y=-x+5##      C. ##y=x-5##       D. ##y=-x-5##

Zadanie 44

 ( )
Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych
i prostopadłej do prostej o równaniu ## y=-\frac{1}{3}x+2##.

A.
##y=3x##         B. ##y=-3x##         C. ##y=3x+2##          D. ## y=\frac{1}{3}x+2##

Zadanie 45

 ( )
Prosta przechodząca przez punkt ##A=(-10,5)## i początek układu współrzędnych jest prostopadła do prostej o równaniu

A. ##y=-2x+4##     B. ##y=\frac{1}{2}x##    C. ##y=-\frac{1}{2}x+1##    D. ##y=2x-4##

Zadanie 46

 ( )
Prosta ##k## przechodzi przez punkt ##A=(4,-4)## i jest prostopadła do osi ##Ox##. Prosta ##k## ma równanie

A. ##x-4=0##       B. ##x-y=0##       C. ##y+4=0##       D. ##x+y=0##

Zadanie 47

 ( )
Prosta o równaniu ##y=\frac{2}{m}x+1## jest prostopadła do prostej o równaniu ##y=-\frac{3}{2}x-1##. Stąd wynika, że

A. ##m=-3##              B. ##m=\frac{2}{3}##               C. ##m=\frac{3}{2}##              D. ##m=3##

Zadanie 48

 ( )
Proste o równaniach: ##y=2mx-m^2-1## oraz ##y=4m^2x+m^2+1## są prostopadłe dla

A. ##m=-\frac{1}{2}##             B. ##m=\frac{1}{2}##             C. ##m=1##             D. ##m=2##

Zadanie 49

 ( )
Proste opisane równaniami ##y=\frac{2}{m-1}x+m-2## oraz ##y=mx+\frac{1}{m+1}## są prostopadłe, gdy

A. ##m=2##          B.  ##m=\frac{1}{2}##          C. ##m=\frac{1}{3}##          D. ##m=-2##

Zadanie 50

 ( )
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu ##y=2x+4## jest równa

A. ##\frac{\sqrt{5}}{5}##                        B. ##\frac{4\sqrt{5}}{5}##                        C. ##\frac{4}{5}##                        D. ##4##

Zadanie 51

 ( )
Punkt ##A## ma współrzędne ##\left ( 5,2012 \right )##. Punkt ##B## jest symetryczny do punktu ##A## względem osi ##Ox##, a punkt ##C## jest symetryczny do punktu ##B## względem osi ##Oy##. Punkt ##C## ma współrzędne

A. ##\left ( -5,-2012 \right )##     B. ##\left ( -2012,-5 \right )##     C. ##\left ( -5,2012 \right )##     D. ##\left ( -2012,5 \right )##

Zadanie 52

 ( )
Punkty ##A=(-21,11)## i ##B=(3,17)## są końcami odcinka ##AB##. Obrazem tego odcinka w symetrii względem osi Ox układu współrzędnych jest odcinek ##A^\prime B^\prime##. Środkiem odcinka ##A^\prime B^\prime## jest punkt o współrzędnych

A. ##(-9,-14)##          B. ##(-9,14)##          C. ##(9,-14)##          D. ##(9,14)##

Zadanie 53

 ( )
Dane są punkty ##M=(-2,1)## i ##N=(-1,3)##. Punkt ##K## jest środkiem odcinka ##MN##. Obrazem punktu ##K## w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt

          A. ##K'=\left(2,-\frac{3}{2}\right)##                            B. ##K'=\left(2,\frac{3}{2}\right)## 
          C. ##K'=\left(\frac{3}{2},2\right)##                               D. ##K'=\left(\frac{3}{2},-2\right)##

Zadanie 54

 ( )
Dany jest okrąg o środku ##S=(2,3)## i promieniu ##r=5##. Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

A. ##A=(-1,7)##     B. ##B=(2,-3)##     C. ##C=(3,2)##     D. ##D=(5,3)##

Zadanie 55

 ( )
Okręgi o środkach ##S_1=(3, 4)## oraz ##S_2=(9, -4)## i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy

A. ##8##                       B. ##6##                       C. ##5##                       D. ##\frac{5}{2}##

Zadanie 56

 ( )
Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach ##A=\left ( -2,2 \right )##
i ##B=\left ( 2,10 \right )##.

Zadanie 57

 ( )
W układzie współrzędnych są dane punkty ##A=(-43,-12)##, ##B=(50,19)##. Prosta ##AB## przecina oś ##Ox## w punkcie ##P##. Oblicz pierwszą współrzędną punktu ##P##.

Zadanie 58

 ( )
Punkty ##A=\left ( 2,11 \right )##, ##B=\left ( 8,23 \right )##, ##C=\left ( 6,14 \right )## są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka ##C## przecina prostą ##AB##
w punkcie ##D##. Oblicz współrzędne punktu ##D##.

Zadanie 59

 ( )
Dany jest trójkąt równoramienny ##ABC##, w którym ## \left | AC \right |=\left | BC \right |## oraz ## A=\left ( 2,1 \right )## i ##C=\left ( 1,9 \right )##. Podstawa ##AB## tego trójkąta jest zawarta w prostej ## y=\frac{1}{2}x##. Oblicz współrzędne wierzchołka ##B##.

Zadanie 60

 ( )
Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach ##A=\left ( 3,8 \right ),B=\left ( 1,2 \right ),C=\left ( 6,7 \right )## jest prostokątny.

Zadanie 61

 ( )
Punkty ## A=\left ( -3,-5 \right )##, ## B=\left ( 4,-1 \right )##, ## C=\left ( -2,3 \right )## są wierzchołkami trójkąta równoramiennego. Oblicz długość ramienia tego trójkąta.

Zadanie 62

 ( )
Punkty ##A=\left ( -9,-3 \right )## i ##B=\left ( 5,5 \right )## są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ##ABC##, w którym ##AB## jest przeciwprostokątną. Wyznacz współrzędne wierzchołka ##C## wiedząc, że leży on na osi ##Ox##.

Zadanie 63

 ( )
Sprawdź, czy czworokąt ##ABCD##, gdzie ##A=\left ( -3,-1 \right )##, ##B=\left ( 53,-2 \right )##, ##C=\left ( 54,4 \right )##, ##D=\left ( -2,3 \right )## jest równoległobokiem. Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 64

 ( )
Punkty ##A=\left ( -1,-5 \right ),B=\left ( 3,-1 \right )## i ##C=\left ( 2,4 \right )## są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ##ABCD##. Oblicz pole tego równoległoboku.

Zadanie 65

 ( )
Proste ##l## i ##k## przecinają się w punkcie ##A=\left ( 0,4 \right )##. Prosta ##l## wyznacza wraz z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt o polu ##8##, zaś prosta ##k## – trójkąt o polu ##10##. Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są: punkt ##A## oraz punkty przecięcia prostych ##l## i ##k## z osią ##Ox##.

Zadanie 66

 ( )
Punkty ##A=\left ( 3,3 \right )## i ##B=\left ( 9,1 \right )## są wierzchołkami trójkąta ##ABC##, a punkt ##M=\left ( 1,6 \right )## jest środkiem boku ##AC##. Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostej ##AB## z wysokością tego trójkąta, poprowadzoną z wierzchołka ##C##.

Zadanie 67

 ( )
Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego ##ABC: A = (−3,−3)## i ##C = (2,7)## oraz prosta o równaniu ##y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}##, zawierająca przeciwprostokątną ##AB## tego trójkąta.

Oblicz współrzędne wierzchołka ##B## tego trójkąta i długość odcinka ##AB##.

Zadanie 68

 ( )
Podstawą trójkąta równoramiennego ##ABC## jest bok ##AB##, gdzie ##A=(2,1)## i ##B=(5,2)##. Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu ##2x-y-3=0##. Oblicz współrzędne wierzchołka ##C##.

Zadanie 69

 ( )
Dane są proste o równaniach ##y = x + 2## oraz ##y = −3x + b## , które przecinają się w punkcie leżącym na osi ##Oy## układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi ##Ox##.

Zadanie 70

 ( )
Dany jest trójkąt równoramienny ##ABC##, w którym ##|AC| = |BC|##. Ponadto wiadomo, że ##A = (−2,4)## i ##B = (6,− 2)##. Wierzchołek ##C## należy do osi ##Oy##. Oblicz współrzędne wierzchołka ##C##.

Zadanie 71

 ( )
Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach ##A=(-2,2), \ B=(6,-2), \ C=(10,6)##.

Zadanie 72

 ( )
Dane są punkty ##A=(-4,0)## i ##M=(2,9)## oraz prosta ##k## o równaniu ##y=-2x+10##. Wierzchołek ##B## trójkąta ##ABC## to punkt przecięcia prostej ##k## z osią ##Ox## układu współrzędnych, a wierzchołek ##C## jest punktem przecięcia prostej ##k## z prostą ##AM##. Oblicz pole trójkąta ##ABC##.

Zadanie 73

 ( )
Punkt ##C=(0,0)## jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ##ABC##, którego wierzchołek ##A## leży na osi ##Ox##, a wierzchołek ##B## na osi ##Oy## układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka ##C## przecina przeciwprostokątną ##AB## w punkcie ##D=(3,4)##. Oblicz współrzędne wierzchołków ##A## i ##B## tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej ##AB##.

Zadanie 74

 ( )
Punkty ##A=(-2,-8)## i ##B=(14,-8)## są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ##ABC##, w którym ##|AB|=|AC|##. Wysokość ##AD## tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu ##y=\frac{1}{2}x-7##. Oblicz współrzędne wierzchołka ##C## tego trójkąta.