nauko.pl

zadania i materiały nie tylko dla nauczycieli


Dodaj media Dodaj zadanie

Polecamy także publikacje:

Okładka

Geografia regionalna świata

Jerzy Makowski

Cena: 40.90

Przejdź do sklepu

REKLAMA

 

Zadanie

Kąt ##\alpha## jest ostry i spełniona jest równość ##\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{2}##. Oblicz wartość wyrażenia ##(\sin \alpha -\cos \alpha)^2##.
Dodaj zadanie do wybranych Prześlij sugestię autorowi

Odpowiedzi

Podnosimy obie strony równania ##\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{2}## do kwadratu i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy ##(a+b)^2=a^2+2ab+b^2##.  Następnie obliczamy wartość wyrażenia ##2\sin\alpha\cos\alpha##.
##\begin{split}
\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{2}\\
\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)^2=\frac{7}{4}\\
\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=\frac{7}{4}\\
1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{7}{4}\\
2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{7}{4}-1=\frac{3}{4}.
\end{split}##
Obliczamy wartość wrażenia ##\left(\sin \alpha -\cos \alpha\right)^2## korzystając z jedynki trygonometrycznej ##\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1##, wzoru na kwadrat różnicy ##(a+b)^2=a^2-2ab+b^2## następnie wykorzystujemy równość ##2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{4}##.
##\begin{split}
\left(\sin \alpha -\cos \alpha\right)^2=\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=\\
=1-2\sin\alpha\cos\alpha=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}.
\end{split}##
Ostatecznie ##\begin{split}
\left(\sin \alpha -\cos \alpha\right)^2=\frac{1}{4}.
\end{split}##

Odpowiedź dodano: 30.12.2017
Słowa kluczowe:
wartości wyrażeń trygonometrycznych
wartości wyrażeń trygonometrycznych Zadania  Zestawy  Multimedia