nauko.pl

zadania i materiały nie tylko dla nauczycieli


Dodaj media Dodaj zadanie

Polecamy także publikacje:

Okładka

Bliżej Biologii. Zeszyt Ćwiczeń. Część 1

Ewa Pyłka-Gutowska

Cena: 13.70

Przejdź do sklepu

REKLAMA

 

Zadanie

Dwusieczna kąta ostrego ##ABC## przecina przyprostokątną ##AC## trójkąta prostokątnego ##ABC## w punkcie ##D##. Udowodnij, że jeżeli ##|AD|=|BD|##, to ##|CD|=\frac{1}{2}\cdot |BD|##.
Dodaj zadanie do wybranych Prześlij sugestię autorowi

Odpowiedzi

Oznaczamy miarę kąta ##ABD## przez ##\alpha##.
Z treści zadania wiemy, że trójkat ##ADB## jest równoramienny, bo ##|AD|=|BD|##, więc kąt ##DAB## również ma miarę ##\alpha##. Odcinek ##BD## zawarty jest w dwusiecznej, zatem miara kąta ##DBC## jest równa mierze kąta ##DBA## i wynosi ##\alpha## (patrz rysunek).

W trójkącie prostokatnym ##ACB## suma kątów ostrych jest równa ##90^\circ##, więc ##3\alpha=90^\circ##, a stąd ##\alpha=30^\circ##.
  Dla trójkata prostokątnego ##DCB## stosuję funkcje trygonometryczne:
##\begin{split}
\frac{|CD|}{|DB|}&=\sin30^\circ\\
\frac{|CD|}{|DB|}&=\frac{1}{2}\\
|CD|&=\frac{1}{2}|DB|,
\end{split}##
co należało udowodnić.
Odpowiedź dodano: 30.12.2017
Słowa kluczowe:
zadania na dowodzenie
zadania na dowodzenie Zadania  Zestawy  Multimedia
dowodzenie w geometrii
dowodzenie w geometrii Zadania  Zestawy  Multimedia
trójkąt prostokątny
trójkąt prostokątny Zadania  Zestawy  Multimedia